Wie drehe ich einen Zylinder um einen bestimmten Punkt?

Geselligkeit ist "ein sicheres Thermometer zur Messung des Gesundheitszustands von Beziehungen", sagte der Papst, als er sich am Mittwoch, dem 11. November, mit den Gläubigen beim Generalaudienz am Petersplatz traf. Vor Beginn der Katechese lud Franziskus die Gläubigen ein, für die Konferenz der italienischen Kirche in Florenz zu beten. Das Folgende ist eine Übersetzung der Katechese des Heiligen Vaters, die in italienischer Sprache gehalten wurde.

In diesen Tagen feiert die Italienische Kirche ihre Nationalkonferenz in Florenz, Kardinäle, Bischöfe, geweihte Menschen, Laien, alle zusammen. Ich lade Sie ein, zu Unserer Lieben Frau zu beten, eine Heilige Maria für sie. Ave Maria

Liebe Brüder und Schwestern,

Heute werden wir über eine unverwechselbare Qualität des Familienlebens nachdenken, die in den ersten Lebensjahren gelernt wurde: Geselligkeit, mit anderen Worten die Haltung, Lebensgüter zu teilen und glücklich zu sein, dazu in der Lage zu sein. Teilen und Teilen ist eine unschätzbare Tugend! Das Symbol, die Ikone, ist die Familie, die sich am Esstisch versammelt. Das Teilen von Mahlzeiten - und damit neben Essen auch von Zuneigung, Geschichten, Ereignissen - ist ein Grunderlebnis. Wenn es ein Fest, einen Geburtstag, ein Jubiläum gibt, versammeln wir uns um den Tisch. In einigen Kulturen ist es auch üblich, dies im Trauerfall zu tun, um denjenigen nahe zu sein, die unter dem Verlust eines Familienmitglieds leiden.

Geselligkeit ist ein sicheres Thermometer zur Messung des Gesundheitszustands von Beziehungen: Wenn in einer Familie etwas schief gelaufen ist oder eine Wunde verborgen ist, wird dies sofort am Tisch verstanden. Eine Familie, die selten zusammen isst oder nicht am Tisch spricht, sondern fernsieht oder auf ein Smartphone schaut, ist eine „kaum familiäre“ Familie. Wenn Kinder am Tisch an einen Computer oder ein Mobiltelefon angeschlossen sind und sich nicht gegenseitig zuhören, ist dies keine Familie, sondern eine Pension.

Das Christentum hat eine besondere Berufung zur Geselligkeit, das weiß jeder. Der Herr Jesus lehrte gerne am Tisch und stellte das Reich Gottes manchmal als festliches Bankett dar. Jesus wählte den Tisch auch aus, um seinen Jüngern sein geistliches Testament zu übergeben - er tat dies beim Abendessen - verkörpert in der Gedenkgeste seines Opfers: der Gabe seines Körpers und seines Blutes als heilsame Speise und Trank, die die wahre und dauerhafte Liebe nährt .

Aus dieser Perspektive können wir gut sagen, dass die Familie bei der Messe "zu Hause" ist, gerade weil sie der Eucharistie ihre eigene Erfahrung der Geselligkeit bringt und sie der Gnade der allgemeinen Geselligkeit, der Liebe Gottes zur Welt öffnet. Indem die Familie an der Eucharistie teilnimmt, wird sie von der Versuchung gereinigt, in sich geschlossen zu werden, in Liebe und Treue gestärkt zu werden und die Grenzen ihrer Brüderlichkeit im Einklang mit dem Herzen Christi zu erweitern.

In unserer Zeit, die von so viel Schließung und zu vielen Mauern geprägt ist, wird die von der Familie geschaffene und von der Eucharistie erweiterte Geselligkeit zu einer entscheidenden Gelegenheit. Die Eucharistie und die Familien, die sie nährt, können Schließungen überwinden und Brücken der Akzeptanz und Nächstenliebe bauen. Ja, die Eucharistie einer Familienkirche, die in der Lage ist, der Gemeinschaft den arbeitsamen Sauerteig der Geselligkeit und gegenseitigen Gastfreundschaft wiederzugeben, ist eine Schule der menschlichen Eingliederung, die keine Konfrontation fürchtet! Es gibt keine Kleinen, Waisenkinder, schutzlos, verwundet und enttäuscht, verzweifelt und verlassen, die die eucharistische Geselligkeit der Familie nicht nähren, erfrischen, schützen und hegen kann.

Die Erinnerung an Familientugenden hilft uns zu verstehen. Wir haben gewusst und wissen immer noch, welche Wunder passieren können, wenn eine Mutter ihren Blick und ihre Aufmerksamkeit, ihren Schutz und ihre Fürsorge zusätzlich zu ihren eigenen Kindern auf andere richtet. Bis vor kurzem reichte eine Mutter für alle Kinder im Hof! Und dennoch: Wir sind uns bewusst, welche Stärke ein Volk besitzt, dessen Väter bereit sind, Maßnahmen zum Schutz der Kinder aller zu ergreifen, da sie Kinder als ungeteiltes Geschenk betrachten, das sie gerne und mit Stolz schützen.

Heute sind viele soziale Kontexte ein Hindernis für die familiäre Geselligkeit. Es ist wahr, heute ist es nicht einfach. Wir müssen einen Weg finden, es wieder herzustellen. Am Tisch reden wir, am Tisch hören wir zu. Keine Stille, diese Stille, die nicht die Stille der Mönche ist, sondern die Stille der Selbstsucht, die jeder für sich selbst tut, oder das Fernsehen oder den Computer. und sie reden nicht Nein, keine Stille. Es ist wichtig, diese familiäre Geselligkeit wiederherzustellen und an die Zeit anzupassen. Geselligkeit scheint etwas geworden zu sein, das gekauft und verkauft wird, aber es ist etwas anderes. Ernährung ist nicht immer das Symbol eines fairen Teilens von Gütern, das diejenigen erreichen kann, die weder Brot noch Zuneigung haben. In wohlhabenden Ländern werden wir aufgefordert, übermäßig viel Essen auszugeben, und dann müssen wir es noch einmal korrigieren. Und dieses sinnlose „Geschäft“ lenkt unsere Aufmerksamkeit vom wahren Hunger des Körpers und der Seele ab. Wenn es keine Geselligkeit gibt, gibt es Selbstsucht, jeder denkt an sich. Dies gilt umso mehr, als die Werbung den Hunger nach Snacks und das Verlangen nach Süßigkeiten zum Stillen gebracht hat. Inzwischen können so viele, zu viele Brüder und Schwestern den Tisch nicht erreichen. Es ist ziemlich beschämend!

Betrachten wir das Geheimnis des Eucharistischen Banketts. Der Herr bricht seinen Körper und schüttet sein Blut für alle aus. Wahrlich, keine Spaltung kann diesem Opfer der Gemeinschaft widerstehen, nur die Haltung der Falschheit, der Komplizenschaft mit dem Bösen, das man davon ausschließen kann. Keine andere unhaltbare Lücke kann der Kraft dieses zerbrochenen Brotes und des vergossenen Blutes widerstehen, dem Sakrament des einen Leibes des Herrn. Der lebendige und lebenswichtige Bund der christlichen Familien, der den alltäglichen Anstrengungen und Freuden vorausgeht, sie unterstützt und in der Dynamik ihrer Gastfreundschaft aufnimmt, wirkt mit der Gnade der Eucharistie zusammen, die in der Lage ist, mit ihrer Kraft, die sie einschließt, immer wieder neue Gemeinschaft zu schaffen und spart.

Gerade auf diese Weise wird die christliche Familie ihre wahren Horizonte zeigen, die die Horizonte der Kirche, Mutter aller Menschen, aller Verlassenen und Ausgeschlossenen in allen Völkern sind. Lassen Sie uns beten, dass diese familiäre Geselligkeit in der Zeit der Gnade des kommenden Jubiläums der Barmherzigkeit wächst und reift.

Ich grüße die englischsprachigen Pilger und Besucher, die am heutigen Publikum teilnehmen, einschließlich derer aus Großbritannien, Dänemark, den Niederlanden, Ghana, Japan, Korea und den Vereinigten Staaten von Amerika. An Sie und Ihre Familien rufe ich den Segen des Herrn für Freude und Frieden heran. Gott segne Sie alle!

Ich begrüße junge Menschen, Kranke und Jungvermählten. Möge der Herr Ihnen, liebe junge Leute, helfen, Förderer der Barmherzigkeit und der Versöhnung zu sein, möge er Sie unterstützen, liebe kranke Leute, um das Vertrauen auch in schwierigen Momenten der Prüfung nicht zu verlieren, und möge er es Ihnen erlauben, liebe Jungvermählten, im Evangelium die Freude zu finden, jedes neue menschliche Leben willkommen zu heißen, besonders die Schwachen und Wehrlosen.

Zylinder: ein rundes Abendessen


Nächstes: Fluss um ein Anheben: Überlagerung elementarer Flüsse Vorheriges: Rankine-Oval

Die Umströmung eines Kreiszylinders kann im vorherigen Beispiel durch Annäherung von Quelle und Senke erreicht werden. Dann überlegen wir uns eine gleichmäßige Strömung in Kombination mit einem Dublett. Die Stromfunktion und das Geschwindigkeitspotential für diesen Strom sind gegeben durch

Abbildung 4.28: Schema für den Durchfluss an einem Kreiszylinder vorbei

( 4 . 103 )
( 4 . 104 )

Stromlinien für diesen Fluss sind in Abb. 4.29 dargestellt.

Abbildung 4.30: Staupunkte für die Strömung um einen Kreiszylinder

Die Geschwindigkeitskomponenten sind gegeben durch

( 4 . 105 )
( 4 . 106 )

Es ist zu sehen, dass die Radialgeschwindigkeit bei Null ist

( 4 . 107 )

Wenn wir diese bestimmte Stromlinie als die Oberfläche des Kreiszylinders erkennen, dann ist der Radius des Zylinders a gegeben durch

( 4 . 108 )

Die Gleichungen für die Stromlinie, das Geschwindigkeitspotential und die Geschwindigkeitskomponenten werden ersetzt durch

( 4 . 109 )
( 4 . 110 )
( 4 . 111 )
( 4 . 112 )

Die Geschwindigkeitskomponenten auf der Oberfläche des Zylinders werden durch Setzen von r = a in die obigen Ausdrücke erhalten. Entsprechend,

( 4 . 113 )

hat eine Null bei 0 und 180 0 und ein Maximum von 1 bei = 90 0 und 270 0. Die erstere Menge bezeichnet die Staupunkte der Strömung und die spätere die Punkte der maximalen Oberflächengeschwindigkeit (der Größe). Somit nimmt die Geschwindigkeit von einem Wert von gleich 90 0 ab, wenn man sich in einer normalen Richtung wegbewegt, wie in 4,30 gezeigt.

Die Oberflächendruckverteilung wird aus der Bernoulli-Gleichung berechnet. Wenn wir die Geschwindigkeit und den Druck des freien Stroms so bezeichnen, wie wir es getan haben

( 4 . 114 )

Wir ersetzen

( 4 . 115 )

Wir können den Druck auch als Druckkoeffizienten C ausdrückenp ,

( 4 . 116 )
( 4 . 117 )

Abb. 4.31 zeigt Cp gezeichnet als Funktion von. Eine Symmetrie um die y-Achse ist offensichtlich. Im Vergleich zu dem experimentell beobachteten Cp
Verteilung sehen wir, dass es eine gewisse Übereinstimmung in der Region zwischen = 0 0 und = 90 0 gibt. In den anderen Regionen geht jedoch jede Einigung verloren. Die Gründe dafür liegen auf der Hand. Viskose Kräfte dominieren den Fluss in der Region rechts von der Mittellinie, was zu einer Trennung führt. Der Druck neigt dazu, in einem getrennten Bereich abzunehmen, wobei das Niveau davon abhängt, ob es sich um eine laminare Trennung oder eine turbulente Trennung handelt.

Abbildung 4.31A: Cp-Verteilung für den Durchfluss an einem Kreiszylinder vorbei.

Abbildung 4.31B: Cp-Verteilung für den Durchfluss an einem kreisförmigen Zylinder, der um den Zylinder herum aufgetragen ist.

Symmetrie in der Theorie Cp Die Verteilung sowohl um die y-Achse als auch um die x-Achse zeigt, dass die Zug- und Hubkräfte um den Zylinder jeweils Null sind. Dies
kann auch durch die Integration von Druck um den Zylinder bewiesen werden, so

Ziehen , ( 4 . 118 )
Aufzug, ( 4 . 119 )

Durch Ersetzen der Flächenpressung, ps ab Gl. 4.115 finden wir,

( 4 . 120 )
( 4 . 121 )
= -0 -0 + 0( 4 . 122 )
( 4 . 123 )
( 4 . 124 )
= -0 -0 + 0( 4 . 125 )

Was wir gerade berechnet haben, steht im Gegensatz zu den experimentellen Ergebnissen, die einen signifikanten Luftwiderstand für die Strömung um einen Kreiszylinder vorhersagen. Dies scheint das so genannte D'Alembert-Paradoxon zu Ehren von Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) hervorgerufen zu haben. Jetzt ist es kein Paradox mehr. Wie wir oben besprochen haben, berechnen wir einen Luftwiderstand von Null, da wir die Viskosität nicht berücksichtigt haben.

(c) Luft- und Raumfahrt, Maschinenbau und Mechatronik 2005
Universität von Sydney

2 Antworten 2

Ich gehe davon aus, dass Sie damit meinen, dass sich ein Objekt um einen bestimmten Punkt drehen soll in seiner Geometrie.

So dreht sich die cylinderGeometry beispielsweise um die eigene Achse Center. Angenommen, Sie möchten, dass es sich um seine Achse dreht Ende.

Sie müssen die Zylindergeometrie direkt nach ihrer Erstellung so verschieben, dass sich der gewünschte Punkt innerhalb der Geometrie nun am Ursprung befindet.

BEARBEITEN: Sie können dies jetzt tun, statt:

Wenn Sie nun den Zylinder drehen, dreht er sich um sein Ende und nicht um seine Mitte.

Das Ende, um das es sich dreht, befindet sich ebenfalls an der Position, die Sie für das Zylindernetz festgelegt haben.

Natürlich können Sie dies mit jeder Geometrie tun, nicht nur mit Zylindern.

Mathematische Lösung

Ein Zylinder (oder eine Scheibe) mit dem Radius R wird in eine zweidimensionale, inkompressible, nicht komprimierte Scheibe eingesetztV und Druck p in einer Ebene unter der Bedingung, dass der Geschwindigkeitsvektor (relativ zu Einheitsvektoren) vom Zylinder entfernt ist ich und j ) ist

V = U i + 0 j, < displaystyle mathbf = U mathbf +0 mathbf ,,>

wobei U eine Konstante ist und an der Grenze des Zylinders

V ⋅ n ^ = 0, < displaystyle mathbf cdot mathbf < hat > =0,,>

woher ist der Vektor senkrecht zur Zylinderoberfläche. Die stromaufwärtige Strömung ist gleichmäßig und weist keine Verwirbelung auf. Der Fluss ist invisc> ρ. Die Strömung bleibt daher ohne Vorticity oder ist sa> ∇ × V = 0 überall. Da es sich nicht um eine Rotation handelt, muss ein Geschwindigkeitspotential φ existieren:

V = ∇ ϕ. < displaystyle mathbf = nabla phi ,.>

Inkompressibel sein, V = 0, also muss φ die Laplace-Gleichung erfüllen:

≤ 2 ≤ = 0. < displaystyle nabla ^ <2> phi = 0 ,>

Die Lösung für φ wird am einfachsten in Polarkoordinaten r und θ erhalten, die mit herkömmlichen kartesischen Koordinaten in Beziehung stehen x = r cos θ und y = r Sünde θ . In Polarkoordinaten lautet die Laplace-Gleichung (siehe Del in zylindrischen und sphärischen Koordinaten):

1 r (r (r ∂ r) + 1 r 2 ∂ 2 ϕ θ θ 2 = 0. < displaystyle < frac <1>> < frac < partial> < partial r >> left (r < frac < partial phi> < partial r >> right) + < frac <1>>> < frac < partial ^ <2> phi> < partial theta ^ <2 >>> = 0 ,>

Die Lösung, die die Randbedingungen erfüllt, ist

ϕ (r, θ) = U r (1 + R 2 r 2) cos ⁡ θ. < displaystyle phi (r, theta) = Ur left (1 + < frac >>> right) cos theta ,.>

Die Geschwindigkeitskomponenten in Polarkoordinaten ergeben sich aus den Komponenten von ∇φ in Polarkoordinaten:

V r = ∂ ϕ ϕ r = U (1 - R 2 r 2) cos ⁡ θ < displaystyle V_= < frac < partial phi> < partial r >> = U left (1 - < frac >>> right) cos theta>

= - U (1 + R 2 r 2) sin ⁡ θ. < displaystyle V _ < theta> = < frac <1>> < frac < partial phi> < partial theta >> = - U left (1 + < frac >>> right) sin theta ,.>

Da die Bernoulli-Gleichung unsichtbar und irrotational ist, kann die Lösung für das Druckfeld direkt aus dem Geschwindigkeitsfeld erhalten werden:

p = 1 2 ρ (U 2 - V 2) + p ∞, < displaystyle p = < tfrac <1> <2 >> rho left (U ^ <2> -V ^ <2> right) + p _ < infty>,>

wo die Konstanten U und p erscheinen so, dass pp weit weg vom Zylinder, wo V = U . Verwenden V 2 = V 2
r + V 2
θ ,

p = 1 2 ρ U 2 (2 R 2 r 2 cos ⁡ (2 θ) - R 4 r 4) + p ∞. < displaystyle p = < tfrac <1> <2 >> rho U ^ <2> left (2 < frac >>> cos (2 theta) - < frac >>> right) + p _ < infty> ,.>

In den Figuren ist das als "Druck" bezeichnete eingefärbte Feld eine Auftragung von

2 p - p ∞ ρ U 2 = 2 R 2 r 2 cos ⁡ (2 θ) - R 4 r 4. < displaystyle 2 < frac > < rho U ^ <2 >>> = 2 < frac >>> cos (2 theta) - < frac >,>>.>

Auf der Oberfläche des Zylinders oder r = R variiert der Druck von maximal 1 (im Diagramm in gezeigt) rot ) an den Stagnationspunkten bei θ = 0 und θ = π bis zu einem Minimum von −3 (gezeigt in Blau ) auf der s>θ = π / 2 und θ = 3π / 2. Gleichfalls, V variiert zwischen V = 0 an den Stagnationspunkten bis V = 2U an den seiten, im niederdruck.

Stream-Funktion

Da der Fluss inkompressibel ist, kann eine Stromfunktion so gefunden werden, dass

V = ∇ ψ × k. < displaystyle mathbf = nabla psi times mathbf ,.>

Es folgt aus dieser Definition unter Verwendung von Vektoridentitäten,

V ⋅ ∇ ψ = 0. < displaystyle mathbf cdot nabla < psi> = 0 ,.>

Daher ist eine Kontur mit einem konstanten Wert von ψ auch eine Stromlinie, eine Tangente an eine Linie V . Für die Strömung an einem Zylinder finden wir:

ψ = U (r - R 2 r) sin ⁡ θ. < displaystyle psi = U left (r - < frac >> right) sin theta .>

Physikalische Interpretation

Die Laplace-Gleichung ist linear und eine der elementarsten partiellen Differentialgleichungen. Diese einfache Gleichung liefert die gesamte Lösung für beide V und p wegen der Beschränkung von Irrotationalität und Inkomprimierbarkeit. Nachdem die Lösung für erhalten V und p kann die Übereinstimmung des Druckgradienten mit den Beschleunigungen festgestellt werden.

Der Staudruck am vorgelagerten Staupunkt beträgt 1/2 ρU 2. Ein Wert, der benötigt wird, um den freien Stromfluss der Geschwindigkeit U zu verlangsamen. Derselbe Wert erscheint am stromabwärtigen Stagnationspunkt, dieser hohe Druck ist erneut erforderlich, um den Durchfluss auf die Geschwindigkeit Null zu verlangsamen. Diese Symmetrie entsteht nur, weil die Strömung völlig reibungsfrei ist.

Der niedrige Druck an den Seiten des Zylinders wird benötigt, um die zentripetale Beschleunigung der Strömung bereitzustellen:

∂ p ∂ r = ρ V 2 L, < displaystyle < frac < partiell p> < partiell r >> = < frac < rho V ^ <2 >>>,,>

wobei L der Krümmungsradius der Strömung ist. Zitat benötigt Aber LR , und VU . Das Integral der Gleichung für die zentripetale Beschleunigung, die über eine Strecke Δ wirdrR wird also nachgeben

p - p ∞ ≈ - ρ U 2. < displaystyle p-p _ < infty> approx - rho U ^ <2> ,>

Die genaue Lösung hat für den niedrigsten Druck

p - p ∞ = - 3 2 ρ U 2. < displaystyle p-p _ < infty> = - < tfrac <3> <2 >> rho U ^ <2> ,>

Der Unterdruck, der vorhanden sein muss, um zu beweisen>V = 2U , im Niederdruck an den Seiten des Zylinders.

Ein Wert von V > U steht im Einklang mit der Erhaltung des Grippevolumens> V muss größer sein als U irgendwo in der Ebene durch die Mitte des Zylinders und quer zur Strömung.

Vergleich mit dem Durchfluss einer realen Flüssigkeit an einem Zylinder vorbei

Die Symmetrie dieser idealen Lösung hat einen Stagnationspunkt auf der Rückseite des Zylinders sowie auf der Vorderseite. Die Druckverteilung auf Vorder- und Rückseite ist identisch, was zu der besonderen Eigenschaft führt, dass der Zylinder keinen Luftwiderstand aufweist, eine Eigenschaft, die als d'Alembert-Paradoxon bekannt ist. Im Gegensatz zu einer idealen nichtviskosen Flüssigkeit wird bei einem viskosen Fluss an einem Zylinder, unabhängig von der Viskosität, eine dünne Grenzschicht angrenzend an die Oberfläche des Zylinders gebildet. Es kommt zu einer Trennung der Grenzschichten, und im Strom hinter dem Zylinder ist eine nachlaufende Spur vorhanden. Der Druck an jedem Punkt auf der Nachlaufseite des Zylinders ist niedriger als auf der stromaufwärtigen Seite, was zu einer Widerstandskraft in der stromabwärtigen Richtung führt.

Janzen-Rayleigh-Erweiterung

Das Problem der möglichen kompressiblen Strömung über Kreiszylinder wurde erstmals 1913 von O. Janzen und 1916 von Lord Rayleigh mit geringen kompressiblen Effekten untersucht. Hier ist der kleine Parameter ein Quadrat der Machzahl M 2 = U 2 / c 2 ≪ ​​1 < displaystyle mathrm ^ <2> = U ^ <2> / c ^ <2> ll 1>, wobei c die Schallgeschwindigkeit ist. Dann ist die Lösung für eine Annäherung erster Ordnung in Bezug auf das Geschwindigkeitspotential

(r, & thgr;) = U r (1 + a 2 r 2) cos & thgr; - ​​M 2 U r 12 + O (M 4) < displaystyle phi (r, & thgr;) = Ur left (1+) < frac >>> right) cos theta - mathrm ^ <2> < frac <12>>leftleft(>>> - < frac <6a ^ <4 >>>> + < frac >>> right) cos theta + left (< frac >>> - < frac <3a ^ <2 >>>> right) cos 3 theta right + mathrm left ( mathrm ^ <4> right) ,>

Dabei ist a < displaystyle a> der Radius des Zylinders.

Potentieller Durchfluss über einen Kreiszylinder mit geringen Abweichungen

Eine regelmäßige Störungsanalyse für eine Umströmung eines Zylinders mit leichten Störungen in den Konfigurationen findet sich in Milton Van Dyke (1975). Im Folgenden wird ε einen kleinen positiven Parameter darstellen und a ist der Radius des Zylinders. Für detailliertere Analysen und Diskussionen wird auf das Buch von Milton Van Dyke von 1975 verwiesen Störungsmethoden bei Grippe>

Leicht verzerrter Zylinder

Hier ist der Radius des Zylinders nicht r = ein , aber eine leicht verzerrte Form r = ein(1 − ε Sünde 2 θ). Dann lautet die Lösung zur Näherung erster Ordnung

ψ (r, θ) = U r (1 - a 2 r 2) sin ⁡ θ + ε U r 2 (3 a 2 r 2 sin ⁡ θ - a 4 r 4 sin ⁡ 3 θ) + O (ε 2) < displaystyle psi (r, theta) = Ur left (1 - < frac >>> right) sin theta + varepsilon < frac <2>>left(>>> sin theta - < frac >>> sin 3 theta rechts) + mathrm left ( varepsilon ^ <2> right)>

Leicht pulsierender Kreis

Hier ändert sich der Radius des Zylinders mit der Zeit leicht so r = ein(1 + εf(t)). Dann lautet die Lösung für die Approximation erster Ordnung

ψ (r, θ, t) = U r (1 - a 2 r 2) sin ⁡ θ + ε U r (a 2 U r θ f '(t) - 2 a 2 r 2 f (t) sin ⁡ θ ) + O (ε 2) < displaystyle psi (r, θ, t) = Ur left (1 - < frac >>> right) sin theta + varepsilon Ur left (< frac >> & thgr; f '(t) - < frac <2a ^ <2 >>>> f (t) sin theta rechts) + mathrm left ( varepsilon ^ <2> right)>

Lineare Scherung

Hier wird eine lineare Scherung der Geschwindigkeit eingeführt.

ψ = U (y + 1 2 ε y 2 a), ω = - ∇ 2 ψ = - ε U a als x → - ∞, < displaystyle < begin psi & = U left (y + < tfrac <1> <2 >> varepsilon < frac >> right) ,, omega & = - nabla ^ <2> psi = - varepsilon < frac > quad < text> x rightarrow - infty ,, end>>

Wobei ε der kleine Parameter ist. Die maßgebliche Gleichung lautet

∇ 2 ψ = - ω (ψ). < displaystyle nabla ^ <2> psi = - omega ( psi) ,.>

Dann lautet die Lösung zur Näherung erster Ordnung

ψ (r, θ) = U r (1 - a 2 r 2) sin ⁡ θ + ε U r 4 (ra (1 - cos ⁡ 2 θ) + a 3 r 3 cos ⁡ 2 θ - ar) + O ( 2). < displaystyle psi (r, theta) = Ur left (1 - < frac >>> right) sin theta + varepsilon < frac <4 >> left (< frac > (1- cos 2 theta) + < frac >>> cos 2 theta - < frac > right) + mathrm left ( varepsilon ^ <2> right) ,.>

Parabolschere

Hier wird eine parabolische Scherung in der Außengeschwindigkeit eingeführt.

ψ = U (y + 1 6 ε y 3 a 2), ω = - ∇ 2 ψ = - ε U y a 2 als x → - ∞. < displaystyle < begin psi & = U left (y + < tfrac <1> <6 >> varepsilon < frac >>> right) ,, omega & = - nabla ^ <2> psi = - varepsilon U < frac >> quad < text> x rightarrow - infty ,. end>>

Dann lautet die Lösung für die Näherung erster Ordnung

ψ (r, θ) = U r (1 - a 2 r 2) sin + θ + ε U r 6 (r 2 a 2 sin 2 sin θ - 3 r ln ⁡ r sin ⁡ θ + χ) + O (ε 2), < displaystyle psi (r, theta) = Ur left (1 - < frac >>> right) sin theta + varepsilon < frac <6 >> left (< frac >>> sin ^ <2> theta -3r ln sin theta + chi rechts) + mathrm left ( varepsilon ^ <2> right) ,,>

Dabei ist χ die homogene Lösung der Laplace-Gleichung, die die Randbedingungen wiederherstellt.

Leicht poröser Zylinder

Lassen Cps stellen den Oberflächendruckkoeffizienten für einen undurchlässigen Zylinder dar:

C p s = p s - p ≤ 1 2 ρ U 2 = 1 - 4 sin 2 ≤ & thgr; = 2 cos ≤ 2 & thgr; - ​​1, < displaystyle C _ < mathrm > = < frac <>-p _ < infty >> << tfrac <1> <2 >> rho U ^ <2 >>> = 1-4 sin ^ <2> theta = 2 cos 2 theta -1 , ,>

woher ps ist die Flächenpressung des undurchlässigen Zylinders. Nun lass CPi Sei der Innendruckkoeffizient im Zylinder, dann ist eine leichte Normalgeschwindigkeit aufgrund der geringen Porosität gegeben durch

1 r ∂ ψ θ θ = ε U (C p i - C p s) = ε U (C p i + 1 - 2 cos ⁡ 2 θ) bei r = a, < displaystyle < frac <1>> < frac < partial psi> < partial theta >> = varepsilon U left (C_ < mathrm > -C_ < mathrm > right) = varepsilon U left (C_ < mathrm > + 1-2 cos 2 theta rechts) quad < text> r = a ,,>

aber die Null-Nettoflussbedingung

0 2 π 1 r ψ ∂ 0 θ d θ = 0 < displaystyle int _ <0> ^ <2 pi> < frac <1>> < frac < partial psi> < partial theta >> , mathrm θ = 0>

benötigt das CPi = −1. Deshalb,

= 2 θ θ = - 2 ε r U cos ⁡ 2 θ bei r = a. < displaystyle < frac < partial psi> < partial theta >> = - 2 varepsilon rU cos 2 theta quad < text> r = a ,.>

Dann lautet die Lösung für die Näherung erster Ordnung

ψ (r, θ) = U r (1 - a 2 r 2) sin ⁡ θ - ε U a 3 r 2 sin ⁡ 2 θ + O (ε 2). < displaystyle psi (r, theta) = Ur left (1 - < frac >>> right) sin theta - varepsilon U < frac >>> sin 2 theta + mathrm left ( varepsilon ^ <2> right) ,.>

Gewellter Quasi-Zylinder

Wenn der Zylinder einen variablen Radius in axialer Richtung hat, kann die z-Achse, r = ein(1 + ε Sünde z / b) ist dann die Lösung für die Näherung erster Ordnung in Bezug auf das dreidimensionale Geschwindigkeitspotential

ϕ (r, θ, z) = U r (1 + a 2 r 2) cos θ - 2 ε U b K 1 (rb) K 1 '(rb) cos θ sin ⁡ zb + O (ε 2) , < displaystyle phi (r, theta, z) = Ur left (1 + < frac >>> right) cos theta -2 varepsilon Ub < frac left (< frac > right)>' left (< frac > right) >> cos theta sin < frac > + mathrm left ( varepsilon ^ <2> right) ,,>

Abendessen

Abendessen ist ein Wort mit einigen unterschiedlichen Bedeutungen.

In Nordamerika bedeutet Abendessen normalerweise eine große Mahlzeit, die am frühen Abend eingenommen wird. Manchmal kann Abendessen eine Mahlzeit sein, die mitten am Tag eingenommen wird. Diese Bedeutung ist in den südlichen Vereinigten Staaten und im Vereinigten Königreich üblicher. Eine formalere Definition von "Abendessen", insbesondere außerhalb Nordamerikas, ist jede Mahlzeit, die mehrere Gänge umfasst. Die Mindestanzahl von Kursen wird oft als zwei angesehen, aber es können auch sieben sein. Wenn es nur einen Gang gibt und dies die Hauptmahlzeit des Tages ist, spricht man von Abendessen.

Das Abendessen ist für manche Kulturen sehr wichtig. An vielen amerikanischen Feiertagen, einschließlich Thanksgiving und Weihnachten, ist das Abendessen ein großer Teil, oft eine Tradition.